有理数和无理数（有理数包括0吗）

这两个定理告诉我们：任意两个不同的有理数之间一定有无数多个有理数；同时任意两个不同的有理数之间一定存在着无数多个无理数。这说明：无理数与有理数之间是“稠密”地存在着的。在数轴上谁也离不开谁了：无理数是与有理数相伴相生，紧紧相依，不离不弃的。哈哈哈！大家觉得有趣吗？

(许兴华数学)

你相信吗？请你认真考虑一下：你是否能够证明呢？如何证明这个奇妙的结论呢？

那么综合（1）（2）知，该命题p(n)对于任意的自然数n(n≥1)都成立。

【定理1】在任意两个不同的有理数之间必定存在着无穷多个有理数。

由上面的证明，我们还非常容易得到下面另外的一个推论：

【证明】设m，p是有理数，且m<p，我们设法在区间(m,p)内找出无穷多个有理数来。

现在，我们给出一个非常奇妙的结论：

有了以上两个重要的结论后，我们现在就可以来证明【定理1】了。

其实我们可以用构造性的方法来找出，请看下图（无论m,p距离靠得多近，为了方便大家理解问题，在画图的时候我们都可以把m,p之间的距离稍为放大一些，让大家看得更清楚）：

【重要知识点的准备】

(许兴华数学)

（2）假设n=k(k≥1)时命题p(k)成立，则当n=k+1时命题p(K+1)也成立.

【定理2的证明】设m，p是有理数，且m<p，我们设法在区间(m,p)内找出无穷多个无理数来。

大家可以大胆地试一试，能否证明此定理呢？

（1）当n=1时命题p(1)成立;

【定理2】在任意两个不同的有理数之间必定存在着无穷多个无理数。

2、数学归纳法原理：设有一个与自然数n有关的命题p(n),(n=1,2,3,4，......），如果

1、有理数之间进行有限次的加、减、乘、除的四则混合运算（作除法时除数不能为零）的结果仍然为有理数。任意一个非零有理数乘以一个无理数必定是无理数。