分部积分公式(分部积分的练习题)
通过求导我们可以发现, Φ(t) 是 f[φ(t)]*φ&39;(t)的原函数。所以:
分部积分法
换元法和分部积分法是求解定积分和不定积分的两大最重要的方法,这两个方法说起来容易,理解起来也不难,但是很容易遗忘。尤其是我们长时间不使用的情况下,经常会忘记,而在用的时候又经常会想不起来,典型的书到用时方恨少问题。所以我们经常拿出来复习回顾一下,还是很有必要的。
我们很容易凑到 t = cosx时,dt = -sinx dx,当x=0时,t=1, 当x=π/2时,t=0。我们代入原式,可以得到:
我们用Python来举例的话,不定积分有些像是高阶函数,我们传入一个函数,得到一个函数。而定积分则就是一个计算的函数,我们传入一个函数,得到一个值。由于有了牛顿-莱布尼茨公式,我们求解定积分的时候也需要求解原函数,但这只是计算过程相似,并不是它的定义。所以不要把两者弄混淆了。
所以我们就证明完了,整个证明过程并不难,比较困难的点在于我们在处理等式右边的时候是怎么想到令Φ(t) = F(φ(t))的呢?这是一个非常巧妙的点。想到这个不太容易,如果是我从头开始证明,我可能会往Φ(t)的原函数上想,估计不太容易想到将F(x)引入进来。
我们之前在不定积分的内容当中曾经介绍过换元法和分部积分法这两种求解不定积分的方法,今天我们来探索将这两种方法应用在定积分上。有一点需要注意,虽然不定积分和定积分只有一字之差,但是在数学上其实它们是两个完全不同的概念。不定积分求解的是函数的原函数,而定积分则是求解的曲形的面积,也就是一个具体的值。
明白了原理之后,我们也可以将换元公式反过来用。也就是说当我们凑到 t = φ(x) 的情况时,也一样可以使用换元公式。
来看个例子:
我们使用分部积分法,令u=t, dv = e^t,所以 v = e^t,代入可以得到:
φ(α) = a, φ(β) = bφ(t) 在区间[α, β],或者[β, α]上具有连续导数,值域是[a, b],那么:
今天是高等数学的第14篇文章,我们一起来看看定积分的换元法和分部积分法。
换元法
我们令 t=√x,于是 x= t^2,并且当x=0时,t=0,当x=1时,t=1。我们代入可得:
我们再来看一个例子:
函数x=φ(t) 满足:
所以我们重点关注的是等式右边,等式右边也做类似处理,我们假设Φ(t) = F[φ(t)]。
在我们写出换元法的公式之前,我们先写清楚它的作用区间。这个是数学的惯例,我们写一个公式或者是定理或者是式子,都需要标明适用范围。我们假设函数f(x)在区间[a, b]上连续。
今天的文章就到这里,原创不易,需要你一个关注的支持~
不定积分的分部积分法是根据求导公式推导得出的,它在定积分当中同样适用,我们只需要稍作变形就可以推导出来:
我们对Φ(t) 求导,可以得到:
这个式子成立非常明显,但为了严谨,我们还是来证明一遍。
和不定积分一样,分部积分法和换元法可以结合使用,得到更强大的效果。我们来看个例子:
我们令u = x, dv = cosx,那么v = sinx,我们代入就可以得到:
我们很容易想到我们可以令x = a sint,这样的话 dx = a cost dt。当x=0时,t=0,当x=a时,t= π/2,我们代入原式可以得到:
总结
等式的左边很简单就是我们常见的积分函数,我们假设f(x)在区间[a, b]上的原函数是F(x),那么等式左边根据牛顿-莱布尼茨公式,可以得到:
我们理解了换元求解定积分的方法之后,我们一起来看一道例题来熟悉一下。这个例题还是经典的三角换元:
我们把上面的式子可以简写成:
东方卫视在线直播 东方卫视在线直播入口
今晚22:00,思念中华面点卡通包《娜就这么说》办起了“音乐party”,香港乐坛天后容祖儿与内地人气民谣组合“好妹妹乐队”一同现身助阵,与谢娜欢乐“唱聊”。节目中,有着不少“天王”好友的容祖儿现场爆料各位“天王”的趣事,直言身为“搞笑天王”的“小学同学”王祖蓝其实小时候很“高冷”。容祖儿趣评“天王”好友:王祖蓝小时候很“高冷”大财经2023-03-21 05:47:49000070家中药企业,我最看好这两家!
昨天研究中药行业说要梳理中药企业,今天趁热打铁,从2023年一季报表现来梳理一下中药企业,看看未来谁的潜力更大。一般来说,如果企业业绩增长是经营改善带来的,那么业绩增长往往就有可持续性,这时只要估值处于合理水平,企业中长期就有机会,当然,长期机会也往往蕴含其中。本篇文章主要从业绩增长、盈利能力两个角度,对10家中药企业进行梳理,最后剩了两家中药企业:广誉远和江中药业。大财经2023-07-19 09:44:470000扎克伯格抢在苹果前面发布最新MR设备 Meta Quest 3正式亮相
就在资本市场坐等下周苹果WWDC之际,在虚拟现实领域深耕已久扎克伯格抢先发布了自家的新品Quest3。值得一提的是,虽然Meta在周四官宣了Quest3,但全球用户至少要等到秋天才会正式发售,大致会在9月27日的MetaConnect活动前后。扎克伯格赶在苹果前面“抢身位”的算盘,打得大洋彼岸都听得清清楚楚。好在设备本体已经出镜,配合官方的介绍,也能大致搞清楚这款新设备的卖点。0000他判了,约1090亿,无期!
大财经2023-12-15 13:05:140000多肉植物图片 多肉植物开花图片
感谢作者【慕尼黑黑】的原创独家授权分享编辑整理:【多肉植物百科】百科君坐标:江苏省苏州市一晃眼三年过完了,人们在感慨疫情封门中开始,又在感慨疫情放开中结束。放开之后的生活忙碌得不得了,茫茫烟火里谋生,皎皎月光下寻爱,熙熙为利来,攘攘为名去,谁又能奈何~啊,这个好像不跟多肉沾边,回归回归,请看看我肉的蜕变!大财经2023-03-25 12:01:120000