三角形内角和（三角形的三个内角和）

有人总觉得矛盾逻辑、矛盾思维是胡说八道。持这种观点的朋友要思考一个问题：毛主席经常用矛盾逻辑思考问题，他为什么能把蒋介石打的一败涂地？

结合本文讲的例子，再来理解恩格斯说的话就容易了。他说：“常识在它自己的日常活动范围内虽然是极可尊敬的东西，但它一跨入广阔的研究领域，就会遇到最惊人的变故。形而上学的思维方式，虽然在相当广泛的、各依对象的性质而大小不同的领域中是正当的，甚至必要的，可是它每一次都迟早要达到一个界限，一超过这个界限，它就要变成片面的、狭隘的、抽象的，并且陷入不可解决的矛盾，因为它看到一个一个的事物，忘了它们互相间的联系；看到它们的存在，忘了它们的产生和消失；看到它们的静止，忘了它们的运动；因为它只见树木，不见森林。”（恩格斯著：《反杜林论》，人民出版社70年版，第19页）可以简单理解如下：三角形内角和等于一百八十度，在日常活动范围内是正确的，但它一跨入广阔的研究领域，一超过某个界限，就会变成片面的、狭隘的、抽象的，并且陷入不可解决的矛盾。这个不可解决的矛盾就是，三角形内角和由等于一百八十度变成了不等于一百八十度。三角形内角和既等于一百八十度又不等于一百八十度，这种说法才是更大范围内的真理。这是一个矛盾说法，然而却是更大范围内的真理。

辩证法与形式逻辑的关系，我们还可以打个比喻：形式逻辑相当于乡镇派出所，辩证法相当于县公安局。社区民警各管一片，铁路巡警各管一段。乡镇派出所只负责它所在辖区的治安事务，超出这个范围它就无能为力了，而必须由县公安局协调解决。县公安局根据实际情况，该用哪个乡镇派出所就用哪个，也可以几个派出所同时用，县公安局就相当于辩证法。

平面几何被认为是科学的典范，它从几个不证自明的简单公理出发，演绎出一个庞大的体系，曾是哲学、伦理学、物理学等学科学习的榜样。三角形内角和定理，原来是平面几何的一个推论，后来就作为公理使用了。在平面几何体系中，有一个公理被称为平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。很显然，这条公理不证自明。可是，数学家们为了尽可能减少公理的数量，也可能是出于好奇，或是想检验一下自己的智慧，他们想用其它公理来证明平行公理。令数学家们没有想到的是，他们的努力总是以失败而告终。这个时候，数学家们自然想问：是不是平行公理错了？假如平行公理错了，就是说，过直线外一点能作很多条直线与已知直线平行。数学家们以此作为公理进行推理论证，奇迹发生了，他们竟然得出了完全不同于平面几何（又称欧氏几何）的数学体系。根据新的数学体系，三角形内角和还真的不等于一百八十度！不等于一百八十度又包括两种情况：大于一百八十度和小于一百八十度。由此，数学家们又得到二套几何学体系，分别由发明人的名字命名。三角形内角和大于一百八十度的几何学体系叫黎曼几何，三角形内角和小于一百八十度的几何学体系叫罗巴切夫斯基几何，两者统称为非欧几何。

由此进一步理解辩证法与形式逻辑的关系。辩证法并没有推翻形式逻辑，而是规定了它的使用范围，在日常生活范围内，形式逻辑的矛盾律就足够用了，但是超出日常生活范围，在更广大范围内就必须用对立统一规律或对理统一规律。这样说并不是说日常生活范围内就不需要对立统一规律，事实上，对立统一规律也充满了日常生活。

由于人们习惯了三角形内角和等于一百八十度，对于三角形内角和不等于一百八十度很多人还是持怀疑态度，他们问：非欧几何正确吗？非欧几何是不是只是数学家们的玩物？当时来说，非欧几何还真的只是数学家们的玩物，没有什么实际用途，可是，随着人类实践规模的不断扩大，非欧几何还真的找到了它们的应用。爱因斯坦创立的广义相对论中引力场附近的弯曲时空，就是以黎曼几何为数学基础的。罗巴切夫斯基几何学所研究的空间对象和空间形态是负曲率空间，负曲率空间是类似于马鞍面，远距离状况是无穷伸展的，在实践中也有应用。

我们也可以比较直观地理解三角形内角和不等于一百八十度。比如在球面的外面画一个三角形，由于三角形的边是往外撇的，所以它的内角和一定是大于一百八十度的。再如在球面的里面画一个三角形，由于三角形的边是往里撇的，所以它的内角和一定是小于一百八十度的。

推而广之，任何真理都是一定范围内的真理，一旦超出它的适用范围就会变成谬误。人们经常犯的错误，就是把某个有限范围内的真理变成普遍有效的真理，自以为是，其它的都不是。他们不知道，通常认为的不是，其实也是是。人们认识到这个辩证法并非一帆风顺，而是付出了惨痛代价。罗巴切夫斯基几何发表后，因为它违背了欧氏几何，违背了形式逻辑的矛盾律，当时的俄国总主教宣布它是异端学说。于是，侮辱和迫害向他压来，但他毫不动摇。1855年，双眼失明的罗巴切夫斯基用口授的方法，写下了他的最后的著作《泛几何学》，非欧几何才为后人所认识。总而言之，既是······又不是······，从更大范围看，辩证法、辩证逻辑的这个说法才是更深刻的道理。

我举一个精确科学的例子。数学是公认的精确科学，不仅如此，数学还“是一切知识中的最高形式”（柏拉图），“是通往科学的门也是科学的钥匙”（培根），“是科学的皇后”（高斯）。

如何理解三角形内角和等于一百八十度与不等于一百八十度两者之间的关系？两者之间的关系并不是非此即彼的关系，而是亦此亦彼的关系。“万物并育而不相害，道并行而不相悖”（《中庸》）。三角形内角和不等于一百八十度并没有推翻三角形内角和等于一百八十度，只是规定了它的适用范围。在日常生活领域，也就是在小尺度宇宙空间范围内，三角形内角和等于一百八十度（欧氏几何）仍然是正确的，比如盖房、修路、日常土地测量、木工做家具等，有欧氏几何就可以了。欧氏几何在日常生活范围内仍然是真理。可是在大尺度宇宙空间，仅有欧氏几何就不行了，比如地球测量、宇观物体的运动规律等，就必须用到非欧几何。

三角形内角和不等于一百八十度，也可以由老子的理论得到理解。老子说：“大曰逝，逝曰远，远曰反。”（《道德经》第二十五章）意思是，随着时间的流逝或空间的扩大，一切事物都不可避免地要走向自己的反面。比如我们在地面上画一个三角形，地面是平的，三角形内角和是一百八十度，把三角形相似地变大，其内角和还是一百八十度。可是，如果越来越大、越来越大，大到一定程度，由于地球是园的，三角形内角和就会大于一百八十度。三角形内角和由一百八十度变成了大于一百八十度，就是走向了反面。这个动画过程可以很好地直观解释老子上面的话，同时老子的话也为我们理解非欧几何提供了一种方法。我们设想在空间画一个三角形，它的内角和是一百八十度，然后把这个三角形相似地无限变大，根据爱因斯坦相对论，由于空间是弯曲的，它的内角和就变成了不是一百八十度。所以三角形内角和等于一百八十度与不等于一百八十度是可以相互转化的，是同一空间形式的两种不同表现形式。

三角形内角和等于一百八十度，凡是上过初中或学过平面几何的人都知道这个定理，叫三角形内角和定理。根据形式逻辑的矛盾律，三角形内角和等于一百八十度，就不可能再等于其它的度数；你说三角形内角和等于一百八十度，就不能再说三角形内角和不等于一百八十度，否则就是思维混乱，胡说八道。而按照辩证法、辩证逻辑，对立面、对理面总是相互依存的，三角形内角和等于一百八十度正确，三角形内角和不等于一百八十度就有正确的时候和地方，或者说就有正确的时空区域。人们一定会问：辩证法、辩证逻辑的这个推理正确吗？我们还是让数学史来回答吧！