三角形三边关系（勾股定理公式）

有关“三角形的三边关系”的教学现状，目前大都是先给出几组小棒，从判断三根小棒能否围成三角形切入，学生通过分析能围成和围不成三角形的几组小棒具体长度之间的关系，通过不完全归纳得出三角形的三边关系。而事实上，学生在操作、判断时常常依靠直觉思维，只关注“围成”和“围不成”的外在形式，相对缺乏对三边关系的理性分析。

（二）教学定位

（六）应用拓展，解决问题

2.请以下面的两条线段分别作为三角形的底或腰，运用尺规画一个等腰三角形。

实际上，如果让四年级的学生直接猜想三角形的三边关系，他们很难想到把三角形两边之和与第三边做比较，尺规的直观操作能够有效地突破这一困境。

（一）内容简析

2.三角形的三边关系

学生在猜想、操作、验证的基础上，归纳、概括出三角形三边关系的结论：三角形任意两边之和大于第三边。

由此，重新定位教学目标如下：

引导学生将三角形的三边关系与几何基本事实“两点之间线段最短”之间建立联系，进一步尝试证明三角形三边关系。

问题是探究的起点，也是探究活动的着力点，是推动学生思维发展的关键。把教学目标与问题建立对应关系，既能保证问题的清晰指向，也有助于教学目标的达成，提高教学的有效性。教学实践中，以问题串将课堂中的各个探究活动串联起来，有效促成了教学目标的达成。

引导学生结合操作过程思考“围成三角形的三条边有什么关系”的问题，在操作、交流中初步猜想三角形的三边关系。

“三角形的三边关系”是在学生掌握了三角形的特征之后进行学习的。在这一课中研究三角形的边的关系，探索并理解“三角形任意两边的和大于第三边”，能够进一步从边的角度来认识三角形的特征。

这样的推理是学生经历了充分的操作、猜想、验证之后进行的，从感性到理性，实现了从操作验证到推理验证的思维跨越，经历了数学化的过程，达到了对三角形三边关系的深度理解。

给定三条线段，引导学生运用尺规以三条线段为边画三角形，边作图边思考三角形的三条边有怎样的关系。学生交流画图的作品和方法，进而明晰：基于给定的三条线段所画的三角形的大小和形状相同。

二、教学实践突破

本节课的教学实践，以尺规作图为抓手，凸显“三角形的稳定性”和“三角形三边关系”两个数学本质。

（四）归纳概括，表达关系

纵观整节课中的活动，学生先利用几何直观进行合情推理，再结合演绎推理明晰道理，经历了由合情推理到演绎推理的完整思维过程。在推理中操作，在作图中感悟推理，这种有推理的思维过程，有思维的画图，正是促进学生体悟数学思想方法，助推学生深度理解，培育数学核心素养的有效策略。

在引导学生以尺规作三角形后，将学生的作品进行展示，并通过旋转让学生直观地看到画出的三角形形状、大小是一样的，获得真切的感性认识，感悟三条边的长能唯一确定三角形的形状和大小这一三角形“稳定性”的本质。

当学生指出“三角形的两条边搭起来的长度大于第三条边”时，引导学生初步验证画出的三角形的三边是否存在这样的关系。

“三角形的三边关系”属于三角形知识的学习范畴。三角形虽然是简单的几何图形，却具有重要的学习价值。三角形是仅次于线段和直线的基本几何图形，空间的大部分基本性质都已经在三角形的几何性质中充分体现。三角形之所以成为古希腊几何学所研究的主角，其原因在于：三角形既简单而又能充分反映空间的本质。

第二次验证是在学生基于一个三角形归纳出三角形三边关系以后，引导学生继续运用尺规进行研究和验证。学生固定三角形的一条边不变，逐渐缩短另外两条边，在操作中发现：围成的三角形都符合任意两边之和大于第三边；当两条线段之和等于或小于第三条线段时，围不成三角形，从不同的角度验证了三角形的三边关系。在运用尺规验证的过程中，一边固定不变，另外两边逐渐缩小的过程，相当于动态地提供了无数组线段供学生直观验证，一定程度上突破了不完全归纳的局限，也突破了以往只研究整厘米数的小棒的局限，帮助学生感受数学本质。

3.感受数学与生活之间、数学知识之间的联系，在探究活动中获得成功的体验，激发学习兴趣。

三、教学实践反思

（五）融入推理，深化认知

综上所述，在基于新课标新变化的“三角形的三边关系”一课的教学实践中，学生以问题为引领，基于尺规作图的实际操作，直观探究、验证、理解三角形的三边关系，并通过几何基本事实“两点之间线段最短”进一步深化认知，猜想、探究、操作、验证、推理、应用三角形三边关系的过程，正是几何直观、抽象意识、推理意识等素养不断发展的过程。

1.判断每组中的三根小棒能否围成三角形。

（二）基于尺规，凸显本质

呈现“手工创意坊”的现实情境，引导学生从中发现数学信息，并提出数学问题。

有的学生通过操作发现，仅较长一条边的长度就大于第三条边的长度，则两边之和必定大于第三边，这实际上也为后续用较短两边之和与第三条边比较提供了思路。

1.操作体验，经历过程

1.三角形的稳定性

1.运用尺规作三角形

在人们的传统观念中，小学几何多是实验几何，很难进行演绎推理证明的教学。教学实践中，可以立足于新课标要求，将操作和推理有机融合，实现从直观到抽象的过渡，促进学生深度理解。

三边长度确定后，画出的是全等三角形，三角形的形状、大小唯一，这是三角形稳定性的实质。

（一）真实情境，提出问题

2.经历借助尺规操作探索、验证三角形三边关系的过程，经历运用几何基本事实“两点之间线段最短”解释三角形三边关系的过程，发展推理意识、几何直观能力。

（2）运用尺规验证猜想

基于上述思考，“三角形的三边关系”的数学本质在于：三角形三边关系的发现应当是基于三角形特征的，在教学过程中展现出“为什么三角形任意两边之和大于第三边”的思维过程。通过这一内容的学习，一方面帮助学生从边的关系的维度进一步认识三角形，从而形成更全面、更本质的认识；另一方面通过操作体验，帮助学生积累研究图形的数学活动经验，为后续学习其他几何图形提供研究方法和路径。

（三）运用尺规，验证猜想

2.融入推理，理解本质

第一次操作活动是借助尺规画给定三边长度的一般三角形，借由学生本身的知觉，初步建立关于三角形三边关系的直观感受和猜想。

一、教学内容分析

引导学生继续运用尺规验证猜想，学生基于画出的三角形，固定其中的一条边不变，逐渐缩短另外两条边，尝试继续画三角形。

本节课的教学实践中，引导学生经历了三次操作活动。

学生呈现的多样化验证方法，体现了他们体验操作之下对知识的深度理解。纵观整节课，学生借助操作体验活动，探索、猜想、归纳、验证三角形的三边关系，充分经历了几何操作的过程、图形要素关系的抽象过程，积淀了几何活动经验，发展了几何直观。

（二）尺规作图，引发猜想

第二次和第三次的操作活动都安排在验证当中，学生以尺规的实际操作，先感受了三角形两边之和与第三边的比较过程，又在继续验证中感受了线段的动态变化，感受到三角形的“边”和“形”之间的内在关联，达到了认识上的飞跃。

上述教学重构的实践之下，学生以三角形三边关系的“猜想、验证、推理、应用”为线索，以尺规作图为抓手，围绕三角形三边关系经历完整的探索过程，有效促进学生对数学知识的深度理解，也为积累数学活动经验创设条件。

《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称新课标）在“三角形的三边关系”的学习内容中增加了“尺规作图”和运用几何基本事实“两点之间线段最短”进行推理的相关提示。本文结合“三角形的三边关系”一课的教学重构，阐述基于新课标的教学实践与思考。

本课的教学实践，凸显了以下几个特色。

有的学生运用尺规将三角形的两条边相接，进而截取两边之和的长度画弧，发现它与第三条边相交后，虚线部分的长度就是多出来的长度，以此进行验证。

学生基于真实情境发现，有的三根小棒能围成三角形，有的围不成，进而提出“三角形三条边之间有怎样的关系”的数学问题。

第一次验证是在学生提出初步的猜想后，引导学生运用尺规进行初步验证，学生以多种方法、多角度验证发现，并归纳、概括出三角形的三边关系。

首先，在课堂伊始，借助真实情境，以问题“能围成三角形的三根小棒，它们之间有怎样的关系”开启研究。在学生运用尺规作出三角形之后，以问题“结合画的过程，你感觉围成三角形的三条边的长度有什么关系”引发猜想。在学生运用尺规初步验证猜想后，以问题“你能说一说三角形三边之间有什么关系吗”引导学生进行初步归纳概括。进而，又以问题“我们在这个三角形中有了发现，是不是所有的三角形都是这样呢”启发学生继续验证。学生从能围成和围不成两方面验证后，归纳出三角形三边关系的结论，我又以问题“‘两点之间线段最短’能解释我们今天学习的知识吗”引导学生进行推理、证明。

（一）目标引领，问题驱动

1.理解“三角形任意两边的和大于第三边”的道理，能运用三角形三边关系解决实际问题。

（三）素养导向，深度理解

关于三角形的学习贯穿在整个义务教育阶段，每个学段有不同的侧重。小学阶段更注重猜想、操作、不完全归纳，进而通过几何基本事实进行初步的证明，重在发现与体验，也有初步的推理；初中则是将归纳、概括上升到推理，注重培养学生逻辑推理与证明的能力，重在证明。

基于新课标的要求，笔者在教学实践中尝试打破以往的教学模式，对教学过程进行了重构，引导学生经历以下探索过程。

2.引发合理猜想，初步验证

教学实践中，以学生发展为本，以核心素养为导向，通过有效的教学策略，促进深度学习的发生。

在初步验证时，有的学生分别以三角形的两个顶点为圆心，截取两条边的长度画弧，发现它们与第三条边相交后，中间重合的部分就是多出来的长度，以此验证三角形两条边之和比第三条边长。

在猜想环节，用尺规作三角形之前，教师给学生提出了明确的任务，让学生“边作图边体会三角形三边之间的长度关系”。学生在操作、思考的过程中，寻找三角形的第三个顶点，直观感受“交轨法”，初步感悟到：只有当上面两条边能搭到一起，才能围成三角形。正是因为有了直观的操作，学生才能自然地想到将三角形两边之和与第三条边作比较，从而产生合理猜想，实现对三角形三边关系的初步感知。

（1）以尺规作图引发合理猜想

总之，在课堂中的每一个环节，都有关键处的设问，学生在问题的引领之下，有明晰的研究目标和任务，不断发现问题，进行探究，再发现问题，再进行探究，活动层层深入，学生的思维在问题串中“浅入深出”。

有的学生画出了新的三角形，进一步验证三角形的三边关系。有的学生发现如果两边继续缩短，当两条线段之和等于或小于第三条线段时则无法画出三角形。

在以尺规验证三角形的三边关系之后，操作活动进入了“深水区”，我及时唤醒学生“两点之间线段最短”这一旧知，进而放手让学生思考，引导学生运用几何基本事实，通过演绎推理证明了三边关系。学生在推理中将三边关系与“两点之间线段最短”的基本事实建立了实质性的联系，知其然更知其所以然。

本课的教学实践中，学生共两次运用尺规验证猜想。